Нехай $M$ - гладкий многовид, $B$ - деякий компактний підмноговид в $M$, $p\colon E \to B$ - регулярний окіл $B$ в $M$ (тобто $E$ - це відкритий окіл $B$, а $p$ - відображення, яке є векторним розшаруванням). Нехай також  $D(M,B)$ - група дифеоморфізмів $M$ нерухомих на $B$ і ${\rm Aut}(E)$ - група автоморфізмів векторного розшарування. Тоді можна побудувати гомоморфізм груп $q\colon D(M,B) \to {\rm Aut}(E)$, який ставить у відповідність кожному $h$ з $D(M,B)$ автоморфізм $E$, який можна розглядати як ''дотичне відображення у напрямку шарів $E$''.

В доповіді показано, що це відображення допускає переріз $s\colon U \to D(M,B)$, визначений на деякому околі $U$ тотожного морфізму ${\rm id}(E)$. Доведення базується на конструкції певного ''пошарового експоненційного відображення''. Отриманий результат застосовується до підгруп в $D(M,B)$, що складаються з дифеоморфізмів, які зберігають певну гладку функцію $f\colon M \to \mathbb R$, для якої $B$ є множиною критичних точок. Також буде обговорено зв'язок з контраціями алгебр Лі.

Проведено розширений симетрійний аналіз ультрапараболічного рівняння Фокера–Планка з трьома незалежними змінними, яке також називають рівнянням Колмогорова. Це рівняння виокремлюється в класі усіх ультрапараболічних (1+2)-вимірних рівнянь Фокера–Планка своїми чудовими симетрійними властивостями. Зокрема, його суттєва алгебра ліївської інваріантності є восьмивимірною, що є максимальною розмірністю серед рівнянь вищезгаданого класу. Прямим методом пораховано повну псевдогрупу точкових симетрій рівняння Фокера–Планка, проаналізовано її структуру та виділено суттєву підгрупу. Після побудови повного списку нееквівалентних одно- та двовимірних підалгебр суттєвої та максимальної алгебр ліївської інваріантності цього рівняння вичерпно прокласифіковано його ліївські редукції та проведено деякі його узагальнені редукції. Знайдені розв'язки розмножено за допомогою ітераційної дії операторів симетрії. У результаті побудовано широкі сім'ї точних розв’язків рівняння Фокера–Планка, зокрема такі, що параметризовані довільною скінченною кількістю довільних розв’язків (1+1)-вимірного лінійного рівняння теплопроводності. Також встановлено точкову подібність рівняння Фокера-Планка до (1+2)-вимірних рівнянь Крамерса, чиї суттєві алгебри ліївської інваріантності є восьмивимірними, що дозволяє легко знайти широкі сім'ї точних розв’язків цих рівнянь Крамерса.

https://arxiv.org/pdf/2205.13526.pdf

Розглянемо історію поняття умовних диференціальних інваріантів (УДІ),
співвідношення цього поняття та понять відносних та абсолютних
диференціальних інваріантів. УДІ можуть використовуватись для побудови рівнянь, які можуть бути умовно інваріантні відносно певного набору операторів (ми будемо розглядати частковий випадок абсолютної
інваріантності відносно алгебр поворотів, Галілея, Пуанкаре, та умовної інваріантності відносно додаткових операторів. Також це поняття, та опис відповідних УДІ дозволяє побудову класів рівнянь, які можуть бути редуковані відносно заданого анзацу.

Проведено повний груповий аналіз (1+2)-вимірної системи Бойті-Леона-Пемпінеллі, яка є інтегровною. На відміну від попередніх робіт, при дослідженні цієї системи використано всю її нескінченновимірну максимальну алгебру ліївської інваріантості, а не скінченновимірні підалгебри цієї алгебри. За допомогою оригінальної версії алгебраїчного методу обчислено повну групу точкових симетрій. Побудовано оптимальні списки одновимірних та двовимірних підалгебр максимальної алгебри ліївської інваріантості та проведено відповідні ліївські редукції корозмірності один і два. За допомогою ліївських редукцій та методу диференціальних зв’язків систему Бойті-Леона-Пемпінеллі зведено до низки відомих рівнянь, таких як рівняння синус-Ґордона, (1+1)-вимірне лінійне рівняння теплопроводности з потенціалом, рівняння Бюргерса, дисперсійні рівняння довгих хвиль, (1+1)-вимірне рівняння Ліувілля, рівняння Ріккаті, Абеля, Бернуллі та Пенлеве. Наведено приклади використання перетворень Лапласа для побудови широких сімей нових розв'язків системи.

Geometric numerical integration is concerned with deriving numerical schemes for differential equations preserving geometric properties of differential equations at a discrete level. In this lecture I will given an introduction to geometric numerical integration and how it relates to standard numerical integration of differential equations. I will provide a short review of the classical notions of errors in numerical schemes and present specific examples from differential equations arising in various areas of the mathematical sciences illustrating that these notions may be inconclusive to assess the practical usability of numerical schemes for these real-world problems. I will then discuss how geometric numerical integrators could remedy the arising issues. Specific attention will be paid to Hamiltonian structures and conservation laws.