Дещо спрощуючи, можна сказати, що множина Жуліа поліноміального відображення — це множина точок, біля яких ітерації цього відображення поводяться хаотично. Це фрактальна множина, яка має багато цікавих властивостей. Природне питання полягає в тому, наскільки великою може бути множина Жуліа. Один зі способів виміряти розмір множини Жуліа — це використовувати розмірність Гаусдорфа (та інші типи розмірностей). У першій частині доповіді я дам необхідні означення і короткий огляд цієї теми. У другій частині представлю підхід до вивчення розмірностей множин Жуліа та опишу результати, отримані за допомогою комп'ютера з використанням цього підходу, які розв'язують деякі відкриті проблеми в цій галузі (спільна робота з Іґорсом Ґорбовіцкісом і Вориком Такером).

Розглядаються неперервні перетворення, які зберігають хвости зображень: класичного двійкового, негадвійкового, $Q_2$-зображення, $G_2$-зображення та інших. Вказуються розв'язки деякого класу рівнянь, пов'язаних з операторами лівостороннього та правостороннього зсувів. Для довільного наперед заданого числа одиничного відрізка конструюється йому відповідне неперервне перетворення, що зберігає хвости. Це є ключовим моментом обґрунтування незліченності групи неперервних перетворень, що зберігають хвости.

У доповіді для числа $[a_1; a_2; \ldots; a_n; \ldots]$, заданого в термінах ланцюгового $A_2$-представлення з алфавітом $\{0{,}5; 1\}$, розглядається оператор лівостороннього зсуву
\[
  T([a_1; a_2; \ldots; a_n; \ldots]) = [a_2; a_3; \ldots; a_{n+1}; \ldots].
\]
Для чисел з двома різними $A_2$-зображеннями домовлено використовувати зображення, що містить період $(0{,}5; 1)$.

Позначимо
\[
  T_n(x) = \underbrace{T(T(\ldots T(x)))}_n.
\]
Досліджуються питання структури послідовностей $T_n(x)$, типу розподілу, якому відповідають $T_n(x)$. Розглянуто деякі метричні результати для задачі, коли цифри $\xi_1$, $\xi_2$, $\ldots$ ланцюгового $A_2$-зображення числа $[\xi_1; \xi_2; \ldots; \xi_n; \ldots]$ вибираються випадково, незалежно з ймовірностями $0{,}5$ відповідно.

In the talk, for a number $[a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots]$ given in terms of the $A_2$-continued fraction expansion with alphabet $\{0.5, 1\}$, we consider the left shift operator
\[
  T([a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots]) = [a_2, a_3, \ldots, a_{n+1}, \ldots].
\]
For numbers with two different $A_2$-representations we use the representation that contains period $(0.5, 1)$.

Let
\[
  T_n(x) = \underbrace{T(T(\ldots T(x)))}_n.
\]
We study structure of sequences $T_n(x)$ and type of the distribution corresponding to $T_n(x)$. We consider some metric results for the problem when digits $\xi_1$, $\xi_2$, $\ldots$ of the $A_2$-continued fraction representation of number $[\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n, \ldots]$ are chosen randomly and independently with probabilities $0.5$, respectively.

Ми плануємо поговорити про історію відділу і вшанувати пам'ять наших колег: доктора фізико-математичних наук, професора, академіка НАН України Олександра Миколайовича Шарковського (7 груд. 1936 р. – 21 листоп. 2022 р.) і доктора фізико-математичних наук, професора Сергія Федоровича Коляди (7 груд. 1957 р. – 16 трав. 2018 р.).

Після основної доповіді очікується відкрита дискусія. Усі учасники семінару зможуть висловитися і поділитися своїми спогадами.

We plan to discuss history of the department and commemorate our colleagues: Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Academician of NAS Ukraine Oleksandr M. Sharkovsky (Dec 7, 1936 – Nov 21, 2022) and Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor Sergiy F. Kolyada (Dec 7, 1957 – May 16, 2018).

After the main talk, the open discussion is expected. All participants of the seminar will be able to speak and share their memories.

У доповіді пропонуються результати дослідження тополого-метричних властивостей множини значень усіх нескінченних ланцюгових дробів, елементи яких належать заданій скінченній множині додатних дійсних чисел. Наводяться умови, коли ця множина: 1) є ніде не щільною, 2) є об'єднанням відрізків, 3) є канторвалом, 4) має додатну міру Лебега.

Вказуються застосування отриманих результатів у теорії розподілів випадкових величин з локально складними спектральними властивостями.

In the talk, we discuss topological and metric properties of the set of values of all infinite continued fractions whose elements belong to a given finite set of positive real numbers. Conditions for this set 1) to be nowhere dense, 2) to be a union of closed intervals, 3) to be a Cantorval, or 4) to be of positive Lebesgue measure are given.

We show applications of the obtained results to the theory of distributions of random variables with locally complicated spectral properties.

Доповідь присвячено взаємозв'язку двох напрямів сучасних наукових досліджень: 1) геометрії числових рядів, ядром якої є тополого-метричний і фрактальний аналіз множин неповних сум (підсум) числових рядів, і 2) теорії нескінченних згорток Бернуллі, які є розподілами сум збіжних рядів незалежних дискретних випадкових величин.

Окрему увагу буде приділено проблемам, пов'язаним зі згортками сингулярних розподілів, зокрема сингулярних розподілів канторівського типу, зі структурними і спектральними властивостями нескінченних згорток Бернуллі, з поведінкою модуля характеристичної функції на нескінченності тощо.

The talk is devoted to interrelation between two directions of modern scientific research: 1) the geometry of numerical series whose kernel is a topological, metric, and fractal analysis of sets of incomplete sums (subsums) of numerical series and 2) the theory of infinite Bernoulli convolutions, which are probability distributions of sums of convergent series of independent discrete random variables.

Problems related to convolutions of singular probability distributions, particularly Cantor-type singular probability distributions, to structural and spectral properties of infinite Bernoulli convolutions, to behaviour of the absolute value of a characteristic function at infinity, etc. will be discussed in detail.

Досліджуються асимптотичні властивості перетворення Фур'є–Стілтьєса розподілу випадкової величини з незалежними $s$-ковими цифрами. Акцент зроблено на знаходженні необхідних та достатніх умов рівності нулю значення верхньої границі на нескінченності модуля відповідного перетворення Фур'є–Стілтьєса.

We study the asymptotic properties of the Fourier–Stieltjes transform of the distribution of random variable with independent $s$-adic digits. In particular, necessary and sufficient conditions for the upper limit at infinity of the absolute value of the corresponding Fourier–Stieltjes transform to be equal to zero are found.

Запропоновано спеціальну конструкцію нескінченного кореневого позначеного дерева-графа. Обговорюється використання цього графа для доведення гіпотези Коллатца.

We propose a special construction of an infinite rooted labeled tree-graph and discuss how to use this graph to prove the Collatz conjecture.

У доповіді розглядається ідея про те, що траєкторіями перетворень Коллатца є гілки дерева Якобсталя, яке формується на основі закономірностей перетворень рекурентних чисел Якобсталя, в напрямку зростання степеня $Q \cdot 2^n$, реверсному до напрямку перетворення Коллатца. Показано, що правила перетворень чисел Якобсталя, що формально перенесені в задачу Коллатца, однозначні лише в напрямку формування дерева. Модель дерева Якобсталя узагальнено на модель перетворення загального типу $a x \pm 1$, де $a = 1, 2, 3, \ldots$.

In the talk, we consider an idea that trajectories of Collatz transformations are branches of the Jacobsthal tree that is formed on the base of transformations of recurrent Jacobsthal numbers in the direction of increasing of power $Q \cdot 2^n$ that is reversed to direction of Collatz transformation. We show that rules of transformations of Jacobsthal numbers that are formally transferred to Collatz problem are unambiguous in the direction of formation of the tree only. The model of the Jacobsthal tree is generalized to the model of general-type transformation $a x \pm 1$, where $a = 1, 2, 3, \ldots$.

У доповіді буде розглядатися один клас збіжних додатних рядів, члени яких пов'язані з тригонометричними функціями. Залежно від значення початкових параметрів множина неповних сум такого ряду може бути скінченним об'єднанням відрізків, множиною канторівського типу та навіть канторвалом.

In the talk, we consider one class of convergent positive series whose terms are related to trigonometric functions. The set of incomplete sums of such a series may be a finite union of intervals, Cantor-type set, or even Cantorval depending on values of initial parameters.

Онлайн: https://bbb.imath.kiev.ua/b/fra-gzt-rh6

Огляд і обговорення статті [1].

A review and discussion of the paper [1].

[1] Karma Dajani and Niels Langeveld, Alternating $N$-expansions, Integers 22 (2022), Paper No. A65, 25 pp. http://math.colgate.edu/~integers/w65/w65.pdf

У доповіді для $Q_s$-представлення, заданого стохастичним вектором $(q_0; q_1; \ldots; q_{s-1})$, та деякої послідовності стохастичних векторів $(q_{0k}; q_{1k}; \ldots; q_{(s-1)k})$, $k \in \mathbb{N}$, вводяться числа $x = \Delta^{Q_s}_{\alpha_0 \alpha_1 \ldots}$ з властивістю
\[
  \lim_{n\to\infty} \frac{N_n(x; (\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l))}{n}
  = \prod_{j=1}^\infty q_{\beta_jj}
  \qquad (1)
\]
для довільного блоку цифр $(\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l)$, де $N_n(x; (\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l))$ — кількість блоків цифр $(\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l)$ серед цифр $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\ldots$, $\alpha_n$ числа $x$. Показано, що коли існує стала $C$ така, що для довільного блоку цифр $(\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l)$
\[
  \limsup_{n\to\infty} \frac{N_n(x; (\beta_1; \beta_2; \ldots; \beta_l))}{n}
  < C \prod_{j=1}^\infty q_{\beta_jj},
\]
то $x$ задовольняє умову (1). Вказано алгоритм побудови числа, що має властивість (1).

In the talk, for $Q_s$-expansion defined by stochastic vector $(q_0, q_1, \ldots, q_{s-1})$ and for some sequence of stochastic vectors $(q_{0k}, q_{1k}, \ldots, q_{(s-1)k})$, $k \in \mathbb{N}$, we introduce numbers $x = \Delta^{Q_s}_{\alpha_0 \alpha_1 \ldots}$ with the property
\[
  \lim_{n\to\infty} \frac{N_n(x, (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l))}{n}
  = \prod_{j=1}^\infty q_{\beta_jj}
  \qquad (1)
\]
for any block of digits $(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l)$, where $N_n(x, (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l))$ is a number of blocks of digits $(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l)$ among digits $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\ldots$, $\alpha_n$ of a number $x$. We show that if there exists constant $C$ such that, for any block of digits $(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l)$,
\[
  \limsup_{n\to\infty} \frac{N_n(x, (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_l))}{n}
  < C \prod_{j=1}^\infty q_{\beta_jj},
\]
then $x$ satisfies condition (1). Algorithm for constructing of a number with property (1) is given.

Доповідь присвячена множинам дійсних чисел з $(0; 1]$, що задані умовами на їхні цифри у різницевому представленні рядами Енгеля. Зокрема, сформульовано та розв'язано задачу про різницеве представлення дійсних чисел рядами Енгеля, яка є аналогічною до задачі Гаусса–Кузьміна щодо ланцюгових дробів.

In the talk, we consider sets of real numbers from $(0, 1]$ defined by conditions on their digits of the difference Engel series representation. In particular, the so-called Gauss–Kuzmin problem for the difference Engel series representation of real numbers is introduced and solved. This is an analogue of the corresponding problem for continued fractions.

Онлайн/Online: https://bbb.imath.kiev.ua/b/fra-gzt-rh6

Вводиться в розгляд функція, яка має фрактальні властивості, залежить від нескінченної кількості параметрів і означується в термінах абсолютно збіжних нескінченних добутків та $Q_2$-зображення аргументу. Обговорюються ефекти, які мають місце при переході від класичного двійкового до $Q_2$-зображення.

We introduce the function with fractal properties that depends on infinitely many parameters and is defined in terms of absolutely convergent infinite products and $Q_2$-representation of argument. Effects arising during the transition from classic binary representation to $Q_2$-representation are discussed.

Онлайн/Online: https://bbb.imath.kiev.ua/b/fra-gzt-rh6

Вводиться в розгляд функція, яка має фрактальні властивості, залежить від нескінченної кількості параметрів і означується в термінах абсолютно збіжних нескінченних добутків та $Q_2$-зображення аргументу. Обговорюються ефекти, які мають місце при переході від класичного двійкового до $Q_2$-зображення.

We introduce the function with fractal properties that depends on infinitely many parameters and is defined in terms of absolutely convergent infinite products and $Q_2$-representation of argument. Effects arising during the transition from classic binary representation to $Q_2$-representation are discussed.

Доповідь складається з двох частин. Перша частина присвячена історії вивчення множин неповних сум рядів та відкритим питанням з цієї тематики. У другій частині вивчаються канторвали, що породжені одним зліченним класом рядів з мультиузагальнених чисел Фібоначчі.

The talk consists of two parts. The first part is devoted to the history of study of the sets of subsums for series and open problems on this topic. In the second part we study Cantorvals generated by one countable class of series of multigeneralized Fibonacci numbers.

У доповіді вводиться поняття $Q_s^*$-нормального числа, що є аналогом відповідного поняття для класичного $s$-кового представлення, за умови, що послідовність стохастичних векторів $(q_{0n}; q_{1n}; \ldots; q_{(s-1)n})$, які відповідають $Q_s^*$-представленню, збігається до стохастичного вектора $(q_0; q_1; \ldots; q_{s-1})$ зі строго додатними координатами. Показано, що за умови \[ \sum_{n=1}^\infty \left( (q_{0n} - q_0)^2 + (q_{1n} - q_1)^2 + \ldots + (q_{(s-1)n} - q_{s-1})^2 \right) < +\infty \] майже всі числа є $Q_s^*$-нормальними.

In the talk, we introduce the notion of a $Q_s^*$-normal number, which is an analogue of the corresponding notion for classic $s$-adic representation, with condition that the sequence of stochastic vectors $(q_{0n}, q_{1n}, \ldots, q_{(s-1)n})$ corresponding to $Q_s^*$-representation tends to the stochastic vector $(q_0, q_1, \ldots, q_{s-1})$ with strictly positive coordinates. We show that almost all numbers are $Q_s^*$-normal if \[ \sum_{n=1}^\infty \left( (q_{0n} - q_0)^2 + (q_{1n} - q_1)^2 + \ldots + (q_{(s-1)n} - q_{s-1})^2 \right) < +\infty. \]

У доповіді буде розглянуто математичні об'єкти, при вивченні яких виникають ряди Енгеля; задачі, що вже розв'язані стосовно рядів Енгеля; взаємозв'язки між різними модифікаціями рядів Енгеля; відкриті проблеми, що пов'язані з рядами Енгеля.

In the talk, we examine how Engel series arise in studying some mathematical objects and consider already solved problems related to Engel series, relations between various modifications of Engel series as well as open problems related to Engel series.

Ми обговорюємо проблему захоплення території у динамічній грі з фрактальним поділом простору конфлікту. Показано, що стратегія домінування неминуче призводить до поразки, якщо відповідна перехресна ентропія не мінімальна. Інтерпретація: у повсякденному житті краще мати малу ентропію, ніж багато грошей.

We discuss the problem of capturing territory in a dynamic game with a fractal division of conflict space. We show that the strategy of dominance necessarily leads to defeat if the corresponding cross entropy is not minimal. Interpretation: in everyday life it is better to have a small entropy than a lot of money.

У лекції буде зроблено огляд різних підходів до мультифрактальності з прикладами. Буде представлено мультифрактальні добутки випадкових процесів і випадкових полів з деякими подробицями і сценаріями. Доповідь ґрунтується на спільних роботах [1–10].
This lecture presents is a survey of different approaches to multifractality with examples. The multifractal products of stochastic processes and random fields is presented with some details and scenarios. The talk is based on the joint papers [1–10].
[1] Leonenko, N.N., Nanayakkara, R., and Olenko, A. (2020). arXiv:2004.14522.
[2] Grahovac, D. and Leonenko, N.N. (2018). Fractals, 26(4), 1850055, 21 pp.
[3] Denisov, D. and Leonenko, N. (2016). Bernoulli, 22(4), 2579–2608.
[4] Denisov, D.E. and Leonenko, N.N. (2016). Stoch. Anal. Appl., 34(4), 610–643.
[5] Grahovac, D. and Leonenko, N.N. (2014). Chaos Solitons Fractals, 65, 78–89.
[6] Leonenko, N.N. and Shieh, N.-R. (2013). Fractals, 21(2), 1350009, 13 pp.
[7] Anh, V.V., Leonenko, N.N., Shieh, N.-R., and Taufer, E. (2010). Nonlinearity, 23(4), 823–843.
[8] Anh, V.V., Leonenko, N.N., and Shieh, N.-R. (2009). Bernoulli, 15(2), 508–531.
[9] Anh, V.V., Leonenko, N.N., and Shieh, N.-R. (2008). Adv. in Appl. Probab., 40(4), 1129–1156.
[10] Anh, V.V., Leonenko, N.N., and Shieh, N.-R. (2009). Stoch. Anal. Appl., 27(3), 475–499.

У доповіді представлені деякі достатні умови абсолютної неперервності та сингулярності розподілу випадкових величин, які є узагальненнями симетричних згорток Бернуллі.

Доповідь присвячена множині неповних сум збуреного геометричного ряду. Це питання раніше вивчалося у кандидатській дисертації доповідача, проте один цікавий клас рядів цієї сім'ї залишився не вивченим.