Зорій Наталія Василівна
Напрямки досліджень
Наукові розробки Н.В. Зорій у 2016–2020 рр. були в основному сконцентровані на наступних напрямках.
Класична задача Гаусса мінімізації енергій Ньютона (чи, більш загально, α-Рісса) при наявності зовнішніх полів вивчалася в якісно новій постановці — для конденсатора, протилежно заряджені пластини якого перетинаються по множині Ω як завгодно великої ємності. Прості приклади показують, що така задача є, взагалі кажучи, нерозв’язною (в термінології електростатики — між пластинами відбувається коротке замикання). Однак було доведено, що розв’язок вже існує, якщо допустимі розподіли мір задовольняють належні верхні крайові обмеження. У відповідно модифікованій задачі Гаусса отримано критерії розв’язності, дано повний опис екстремалей, вивчено питання стійкості при варіації початкових даних. Результати узагальнено на широкий клас теоретико-потенціальних ядер в довільному локально компактному просторі та векторні міри Радона скінченної чи нескінченної розмірності.
З іншого боку, феномен нерозв’язності класичної задачі Гаусса спонукав визначення нової альтернативної концепції α-ріссової енергії, що ґрунтується на законі Рісса декомпозиції ядер та перегукується з визначенням Дені, даним через перетворення Фур’є. Будучи менш обтяжливою, ніж стандартна концепція, нова концепція розширює клас мір зі скінченною енергією та дозволяє ефективно розв’язувати такі задачі на конденсаторах з непорожнім перетином Ω, що в рамках стандартного визначення були принципово нерозв’язними, — зокрема, класичну задачу Гаусса та відому задачу Beurling–Kishi про існування міри конденсатора.
Побудова цих теорій ґрунтується на теоремі про повноту конуса додатних мір зі скінченною α гріновою енергією, відомій раніше лише для плоскої області при α=2 (R. Edwards), та теорії α-ріссового вимітання, що узагальнює на випадок α≠2 класичну теорію Картана.
Класична задача Гаусса мінімізації енергій Ньютона (чи, більш загально, α-Рісса) при наявності зовнішніх полів вивчалася в якісно новій постановці — для конденсатора, протилежно заряджені пластини якого перетинаються по множині Ω як завгодно великої ємності. Прості приклади показують, що така задача є, взагалі кажучи, нерозв’язною (в термінології електростатики — між пластинами відбувається коротке замикання). Однак було доведено, що розв’язок вже існує, якщо допустимі розподіли мір задовольняють належні верхні крайові обмеження. У відповідно модифікованій задачі Гаусса отримано критерії розв’язності, дано повний опис екстремалей, вивчено питання стійкості при варіації початкових даних. Результати узагальнено на широкий клас теоретико-потенціальних ядер в довільному локально компактному просторі та векторні міри Радона скінченної чи нескінченної розмірності.
З іншого боку, феномен нерозв’язності класичної задачі Гаусса спонукав визначення нової альтернативної концепції α-ріссової енергії, що ґрунтується на законі Рісса декомпозиції ядер та перегукується з визначенням Дені, даним через перетворення Фур’є. Будучи менш обтяжливою, ніж стандартна концепція, нова концепція розширює клас мір зі скінченною енергією та дозволяє ефективно розв’язувати такі задачі на конденсаторах з непорожнім перетином Ω, що в рамках стандартного визначення були принципово нерозв’язними, — зокрема, класичну задачу Гаусса та відому задачу Beurling–Kishi про існування міри конденсатора.
Побудова цих теорій ґрунтується на теоремі про повноту конуса додатних мір зі скінченною α гріновою енергією, відомій раніше лише для плоскої області при α=2 (R. Edwards), та теорії α-ріссового вимітання, що узагальнює на випадок α≠2 класичну теорію Картана.