Побудова точних розв’язків нелінійного рівняння теплопровідності

Анотація:
Розглядається нелінійне рівняння \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x} \left(F(u)\frac{\partial u}{\partial x}\right)+G(u)\frac{\partial u}{\partial x}+H(u).\tag{1} \end{equation*} Це рівняння при $G(u)={\rm const}$ описує нестаціонарну теплопровідність в середовищі, яке рухається зі сталою швидкістю, якщо коефіцієнт теплопровідності і швидкості реакції є зовнішніми функціями температури.
Частинним випадком (1) є рівняння \begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x} \left(F(u)\frac{\partial u}{\partial x}\right),\tag{2} \end{equation*} яке зустрічається в нелінійних задачах тепло- і масоперенесення і теорії фільтрації. У роботі [3] запропоновано метод пошуку функцій $F(u)$ , для яких рівняння (2) допускає розв’язки виду $$ u=w(z), \qquad z=x t^{-1/2}, \qquad 0\leq x<\infty $$ (автомодельні розв’язки). У випадку $G(u)\equiv 0$ отримуємо рівняння $$ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x} \left(F(u)\frac{\partial u}{\partial x}\right)+H(u), $$ яке описує нестаціонарну теплопровідність в нерухомому середовищі. Групова класифікація рівнянь даного виду, а також точні розв’язки для різних функцій $F(u)$ і $G(u)$ описані в роботах (див. [1, 2] і цитована там літературу).
Нашою метою є побудова точних розв’язків загального рівняння (1). Для знаходження розв’язків ми використовуємо підстановку \begin{equation*} p(x)=w_1(t)\phi(u)+w_2(t),\tag{3} \end{equation*} яка містить невідомі функції $p(x)$, $w_1(t)$, $w_2(t)$ і $\phi(u)$. Ці функції визначаємо, скориставшись ідеєю редукції: вважаємо, що підстановка (3) редукує рівняння (1) до системи двох звичайних диференціальних рівнянь з невідомими функціями $w_1(t)$ і $w_2(t)$. Цей підхід дозволяє дати опис рівнянь (1), які допускають розв’язки вигляду (3), а також ефективний алгоритм побудови таких розв’язків.

Література

1. Galaktionov V.A. and Svivshevski S.R., Exact solutions and invariant supspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, London, New York 2007.
2. Polyanin A.D. and Zaitsev V.F., Handbook of nonlinear partial differential equations, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, Fl 2004.
3. Philip J.R., General method of exact solution of the concentration-dependent diffusion equation, Australian J.Phys. 13 (1960), 13–20.