Узагальнені розширені групи еквівалентності класів лінійних звичайних диференціальних рівнянь

Анотація:
Ми нагадаємо твердження щодо перетворень еквівалентності (у термінах групоїдів еквівалентності) класу $\mathcal L $ лінійних звичайних диференціальних рівнянь $r$-го порядку ($r \geqslant2 $), а також його підкласів $\mathcal L_1$, $\mathcal L_2$, $\mathcal A_1$ і $\mathcal A_2$, які пов’язані з раціональною формою, формою Лагерра-Форсайта та першою і другою канонічними формами Арнольда відповідно [1]. Відповідні класи однорідних рівнянь також вивчалися з точки зору допустимих перетворень у [1].

Оскільки клас $\mathcal L $ і обидва його підкласи $\mathcal L_1 $ і $\mathcal L_2 $ є нормалізованими відносно звичайних груп еквівалентності при $ r \geqslant3 $, то це дозволило прокласифікувати ліївські симетрії лінійних звичайних диференціальних рівнянь $r$-го порядку ($r \geqslant3$), використовуючи алгебраїчний метод трьома різними способами.

Структура групоїдів еквівалентності класів $\mathcal A_1$ та $\mathcal A_2$ при $ r \geqslant 3 $ набагато складніша, оскільки ці класи навіть не є напівнормалізованими. Саме тому вони не підходять для групової класифікації класу $\mathcal L$, хоча ці форми використовуються для пониження порядку лінійних звичайних диференціальних рівнянь. Нормалізаційні властивості ненормалізованих класів таких рівнянь можна покращити шляхом їх репараметризації, що пов’язана з фундаментальними системами розв’язків. Як наслідок, вперше побудовано приклади узагальнених розширених груп еквівалентності. Але таку репараметризація не можна використати для групової класифікації лінійних звичайних  диференціальні рівнянь через складний зв’язок між старими та новими довільними елементами, суттєву залежність нового представлення рівнянь від довільних елементів та появою калібровочних перетворень еквівалентності.

[1] Boyko V.M., Popovych R.O. and Shapoval N.M., Equivalence groupoids of classes of linear ordinary differential equations and their group classification, J. Phys. Conf. Ser. 621 (2015), 012001, 17 pp., for extended and revised version see arXiv:1403.6062.