Симетрія систем рівняньейконального типу

Абстракт:
Розглянемо систему з шести ейкональних рівнянь у вигляді \begin{equation*} \frac{\partial F_a}{\partial x_\mu} \frac{\partial F_a}{\partial x^\mu} =\lambda, \qquad a=1,\dots, 6, \qquad \mu=0,\dots,3.\tag{1} \end{equation*} Якщо виконується умова $\frac{\partial F_a}{\partial x_\mu} \frac{\partial F_b}{\partial x^\mu} =0$, $a\not= b$, то при $\lambda=1$ максимальною групою інваріантності системи (1) є 66-параметрична група Лі з базисними елементами алгебри Лі, що мають такий вигляд: \begin{gather*} P_A=\delta_{AB} \frac{\partial}{\partial x_B}, \qquad J_{AB} = x_A P_B-x_BP_A, \qquad D = x_A P^A, \qquad K=2x_AD-x_Bx^BP_A,\\ b=1,2,3, \qquad A,B=0,\dots,9, \qquad x_B x^B = x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2-E_1^2-E_2^2-E_3^2-H_1^2-H_2^2-H_3^2, \end{gather*} які задовольняють комутаційним співвідношення конформної алгебри $AC(1,9)$.
Коли $\lambda = 0$ система (1) інваріантна відносно нескінченновимірної алгебри. При цьому координати інфінітезимального оператора мають вигляд: \begin{gather*} \xi_\mu =K_\nu (2x_\mu x^\nu -x^2 \delta_{\mu\nu})+a_{\mu\nu} x_\nu +b x_\mu +c_\mu,\qquad \eta^K=\eta^K(E_aH_a),\\ \mu,\nu=0,1,2,3, \qquad K=1,\dots,9, \qquad a=1,2,3, \qquad a_{\mu\nu}=-a_{\nu\mu}, \end{gather*} де $K_\nu$, $a_{\mu\nu}$, $b$, $c$, $\eta^K$ — довільні функції від $E_a$, $H_a$.
Розглянемо систему рівнянь \begin{gather*} \lambda_1 \Box \vec E(t,x) +\lambda_2 \Box\Box \vec E(t,x)=0,\\ \lambda_1 \Box \vec H(t,x) +\lambda_2 \Box\Box \vec H(t,x)=0,.\tag{2}\\ \frac{\partial W^1}{\partial x_\mu} \cdot \frac{\partial W^1}{\partial x^\mu}=0, \qquad \frac{\partial W^2}{\partial x_\mu} \cdot \frac{\partial W^2}{\partial x^\mu}=0, \end{gather*} де $W^1=\vec E^2-\vec H^2$, $W^2 =(\vec E,\vec H)$ — інваріанти електромагнітного поля, $(t,x)=(x_0,x_1,x_2,x_3 )$, $\Box$ — оператор Даламбера.
Проведемо груповий аналіз системи (2). Наприклад при $\lambda_1=0$, $\lambda_2\not=0$ максимальною локальною групою інваріантності системи (2) є 21-параметрична група Лі з базисними елементами вигляду \begin{gather*} D_\mu, \ J_{\mu\nu}, \ D, \ K_\mu, \\ Q_{Kl}^1= E_l\frac{\partial}{\partial E_K} -E_K\frac{\partial}{\partial E_l} +H_l\frac{\partial}{\partial H_K} -H_K\frac{\partial}{\partial H_l} ,\\ Q_{Kl}^2= H_l\frac{\partial}{\partial H_K} -H_K\frac{\partial}{\partial E_l} , \qquad K,l=1,2,3. \end{gather*} Розглянуто задачу за яких умов система з шести ейкональних рівнянь \begin{gather*} \frac{\partial E_a}{\partial x_\mu}\cdot \frac{\partial E_a}{\partial x^\mu}=\lambda_1, \qquad \frac{\partial H_a}{\partial x_\mu}\cdot \frac{\partial H_a}{\partial x^\mu}=\lambda_2, \qquad a=1,2,3, \qquad \mu=0,1,2,3 \end{gather*} для векторів $\vec E(E_1,E_2,E_3)$, $\vec H(H_1,H_2,H_3)$, $E_a=E_a(x_0,x)$, $H_a=H_a(x_0,x)$ інваріантна відносно групи Пуанкаре $P(1,n)$ та конформної групи $C(1,n)$ (за повторюваними індексами a підсумування не мається на увазі). Та проведено груповий аналіз систем рівнянь типу (2).