О несостоятельных спектральных оценках

В анализе временных рядов очень важная роль отведена разложению временных последовательностей по частотам. При оценивании таких важных параметров как частота резонанса и декремент затухания, эта ирформация имеет решающее значение во многих приложениях. В качестве другого применения можно назвать оценивание колебаний в таких экономических временных рядах, как индекс безработицы. Ковариационные функции и их преобразования Фурье, т. е. спектральная плотность тесно связаны и несут в принципе одну и ту же информацию. От спектральной плотности допускающей простую интерпретацию и в инженерных приложениях, иногда, стремясь получить более наглядное графическое изображение результатов, переходят к автокорреляции. Например, к автокорреляционной функции обращаются, когда нужно определить коэффициенты для уравнения прогнозирования. В работах В.Г. Алексеева и других были исследованы важные свойства спектральных оценок временных последовательностей. В данной заметке мы рассмотрим некоторые свойства ковариационной функции стационарных процессов и их статистических оценок.

Пусть х(t) стационарный процесс c нулевым средним и второго порядка.

Теорема. Сумма коэффициентов косинус преобразований и синус преобразований является несостоятельной оценкой для спектральной плотности, статистические оценки спектральной плотности и ковариационной функции окажутся статистически несостоятельными.