Про скінченно-різницеві властивості конформних відображень

Нехай у комплексній площині задано однозв’язну область, обмежену спрямлюваною гладкою жордановою кривою. Будемо розглядати кут між дотичною до кривої та додатною дійсною віссю як функцію довжини дуги на цій кривій. Розглянемо функцію Рімана заданої області та функцію, обернену до неї. Ставиться задача про отримання інформації про зв’язок між властивостями функції, яка характеризує криву, що обмежує цю область, та функцій, що реалізують конформні відображення.

Келлог довів широко відому теорему про те, що якщо кут між дотичною до кривої і додатною дійсною віссю належить класу Гельдера, то тому ж класу Гельдера з тим же показником належить і похідна функції, що реалізує гомеоморфізм замкнутого одиничного круга на замикання даної області, конформний у відкритому одиничному крузі. Згодом було отримано розглянуто багато різних узагальнень цього результату (більш детально див. [1] – [4]). В доповіді розглянуто оцінки для модулів гладкості вищих порядків загального вигляду для похідних будь-якого порядку для функцій, що реалізовують конформні відображення. Результати отримано в термінах рівномірних криволінійних, локальних арифметичних та інтегральних модулів гладкості.

1. Тамразов П. М. Гладкости и полиномиальные приближения. – К.: Наук. думка. Киев. 1975.
2. Карупу O. В. О модулях гладкости конформных отображений.//Укр. мат. журн. – 1978. – 30, №4, с.540-545.
3. Карупу О. В. Скінченно-різницеві властивості гладкості конформних відображень//Праці Ін-ту математики НАН України – Київ. – 2006. – 3, №4, с. 175 – 180 .
4. O. W. Karupu. On some boundary properties of conformal mapping. In: Further progress in analysis, Proc. of the 6th International ISAAC Congress. – World Scientific, Singapore – 2009. p.233-240.