Обратные задачи спектрального анализа для конечных CMV-матриц

Для конечномерных CMV-матриц, являющихся унитарными пятидиагональными матрицами специального вида, рассмотрены классические обратные задачи спектрального анализа. Решены обратная задача о восстановлении CMV-матрицы по её функции Вейля, задача о восстановлении матрицы по двум спектрам CMV-операторов с различными ``краевыми условиями'' и задача о восстановлении CMV-матрицы по её спектру и спектру её ``унитарного усечения''. Кроме того, рассмотрена смешанная обратная задача о восстановлении матрицы по её главному минору и части спектра. Найдены достаточные условия для единственности решения смешанной задачи; показана возможность вырожденных случаев, при которых решение обратной задачи неединственно, несмотря на то, что число заданных параметров совпадает с числом параметров, подлежащих восстановлению. Также изучена общая задача рациональной интерполяции, возникающая в ходе решения смешанной обратной задачи, и дано описание решений задачи рациональной интерполяции: показано, что всякая задача рациональной интерполяции (с конечным числом узлов) имеет две образующие, через которые выражается любое решение.