Статистичні характеристики не детермінованих послідовностей чи процесів на основі інтервального аналізу

Встановлення закономірностей проявів не детермінованих подій можливе лише на основі дослідження їх багатократних реалізацій, представлених у вигляді послідовностей. Проте, завжди маємо справу із скінченими послідовностями і тому неможливо на основі лише їх вивчення гарантувати точне дотримання таких закономірностей. Дана суперечність вирішується на основі методології інтервального аналізу. А саме, вводяться інтервальні статистичні характеристики (функції) не детермінованих послідовностей [1], (чи неперервних процесів [2]), тобто гарантується дотримання певних закономірностей лише з деякою точністю. Окремо виділяється абстрактно-теоретичний випадок, коли при збільшенні довжини послідовності існує граничний перехід, в процесі якого інтервальні функції стають однозначними.

Пропонується теоретико-множинна модель невизначеності, коли розглядається деяка множина елементарних подій, на основі якої формуються послідовності за допомогою не детермінованого алгоритму вибору елементів цієї множини, якого будемо називати хаотичним, а сформовані ним послідовності – хаотичними. Хоча сам алгоритм невідомий, але вважаються відомими деякі інтервальні характеристики таких хаотичних послідовностей. Вони встановлюються на основі статистичної обробки частини із цих послідовностей, на якій вважається в повній мірі проявляться статистичні властивості алгоритму їх формування. Такі інтервальні характеристики слугують основою множинного оцінювання в задачах фільтрації та ідентифікації [3].

Спочатку розглядається дискретна множина елементарних подій, що складається із певної кількості упорядкованих і пронумерованих елементів. Для сформованої із неї хаотичної послідовності вводиться дискретна інтервальна функція розподілу її членів, а також інтервальна функція їх частот [4]. Звідси отримуються інтервальні оцінки частоти появи кожної з елементарних подій. Тоді, за умови існування вказаного раніше граничного переходу визначається дискретна функція імовірності появи в сформованій послідовності відповідних подій. Це поняття повністю аналогічне тому, що використовується в аксіоматичній теорії ймовірностей, але отримане із статистичного підходу, поєднаного з інтервальним аналізом [3]. Доказано існування інтервальної функції середнього для будь-якої кількості членів послідовності на ковзному інтервалі певної ширини та інших інтервальних статистичних характеристик, котрі при граничному переході дають відомі характеристики з теорії ймовірностей. Такого роду характеристики отримані також для випадку неперервної замкнутої обмеженої упорядкованої множини елементарних подій, з елементів якої формують послідовності чи неперервні процеси.

[1] Лычак М.М. Интервальные характеристики хаотических последовательностей // Кибернетика и системный анализ. – 2004. – №5. – С. 58-71.
[2] Лычак М.М. Хаотические непрерывные процессы и их интервальные характеристики // Проблемы управления и информатики. – 2004. – №3. – С. 82-96.
[3] Лычак М.М. Интервальные функции распределения и скользящего среднего возмущений как основа множественного оценивания // Труды Всероссийского (с международным участием) совещания по интервальному анализу и его приложениям. – Санкт-Петербург. – 2006. – С. 78-82.
[4] Личак М.М. Інтервальна функція розподілу обмеженої хаотичної послідовності як основа не аксіоматичної теорії ймовірностей // Український математичний журнал. – 2008, т.60. – №8. – С. 1128-1137.