Класифікація гладких функцій з ізольованими особливостями на поверхнях

Топологічна класифікація гладких функцій з ізольованими критичними точками на поверхнях була отримана різними способами Пришляком О.О. та Шарко В.В. Для кодування атомів невироджених критичних точок Ошемков ввів f-граф. Для узагальнення цього підходу на вироджений випадок введемо наступне поняття.

Означення: fd-графом називається граф валентності 4 з мітками-знаками у вершинах, ребра якого орієнтовані та розфарбовані в два кольори, причому в кожну вершинну входить та із кожної вершини виходить по одному ребру кожного кольору. Вершини fd-графа лежать на від'ємній межі атома, ребрами є частини від'ємної межі атома, а також частини межі околу критичної точки. Знаки в вершинах означають, чи узгоджені орієнтації компонент меж атома та околу критичної точки. Ізоморфізм fd-графів задається ізоморфізмом орієнтованих графів з мітками та роз фарбуванням, а також операцією зміни напрямку всіх ребер та знаків всіх вершин однокольорового циклу на протилежні.

Теорема 1: Атоми критичних шарів, що містять ізольовані критичні точки, гладких функцій на поверхнях топологічно еквівалентні тоді і тільки тоді, коли відповідні їм fd-графи ізоморфні.

Теорема 2: Дві гладкі функції з ізольованими критичними точками на орієнтовній поверхні топологічно еквівалентні тоді і тільки тоді, коли їх графи Кронрода-Ріба з додатковою інформацією (на вершинах яких заданий порядок та кожній вершині співставлений fd-граф, причому зафіксована відповідність між ребрами, інцидентними вершині, та циклами fd-графа, що відповідають компонентам межі атома) ізоморфні.