Нарізно неперервні відображення і теорія наближень

Вперше теорія нарізно неперрвних відображень і теорія наболижень зустрілися в піонерській праці А.Лебеґа [1], в якій він дав своє доведення теореми Веєрштрасса про рівномірне наближення неперервних функцій многочленами і разом з тим з допомогою апроксимації неперервних функцій ламаними довів, що кожна нарізно неперервна функція на площині належить до першого класу Бера. Впродовж XX ст. обидві теорії інтенсивно розвивалися, але відчутної взаємодії між ними не спостерігалося. Єдиний вийняток - робота М. Цуджі [2]. У праці [3] було виявлено глибинні зв'язки між теорією наближень і теорією нарізно неперервних відображень, зокрема, показано як з допомогою многочленів Бернштейна доводити класичну теорему Бера про малість проекції множини точок розриву нарізно неперервної функції, а також поставлено ряд проблем, пов'язаних з оберненою теоремою Бернштейна. Обговоренню цих проблем і буде присвячена доповідь.

1. Lebesque H. Sur l'approximation des fonctions // Bull. Sci. Math. - 1898. - 22 - P.278-287.
2. Tsuji M. On Baire's Theorem concerning a function f(x,y), which is continuous with respect to each variable x anf y // J. Math. Soc. Japan. - 1951. -
2,№ 3-4. - P.210-212.
3. Власюк Г.А., Маслюченко В.К. Многочлени Бернштейна і нарізно неперервні функції// Науковий вісник Чернівецького університету.- 2007. - №336-337. - с. 52-59.