Нелинейные нормальные формы колебаний и их устойчивость

Нелинейные нормальные формы колебаний представляют собой обобщение нормальных колебаний линейных систем. В режиме нормальных колебаний конечномерная нелинейная система ведет себя подобно консервативной с одной степенью свободы, а все позиционные координаты являются однозначными функциями одной из них. Криволинейные траектории нормальных колебаний в конфигурационном пространстве могут быть получены с использованием степенных рядов. Если потенциальная энергия консервативной системы представляет собой положительно определенный полином от позиционных координат, то при малых значениях энергии траектории нормальных колебаний определяются в виде степенных рядов по амплитуде, а при больших значениях - в виде степенных рядов по отрицательным степеням амплитуды. Для сращивания полученных локальных разложений и определения решений для произвольных значений амплитуды с успехом используются дробно-рациональные аппроксимации Паде. Нелинейные нормальные колебания могут быть определены также и в неавтономных или автоколебательных системах, близких к консервативным. Используется построение траекторий в конфигурационном пространстве, а также обобщение метода Раушера. Для исследования устойчивости нормальных колебаний во многих случаях может быть применена алгебраизация уравнений в вариациях по Айнсу. При этом в качестве новой независимой переменной выбирается некоторая позиционная координата. Для некоторых классов нелинейных систем удается получить собственные значения задачи устойчивости, а также определить тип ответвляющихся решений. Выделены случаи, когда число зон неустойчивости в пространстве параметров системы конечно. Методы теории нелинейных нормальных колебаний могут быть использованы в некоторых прикладных задачах.

Автор выражает благодарность Фонду фундаментальных исследований Украины (грант Ф25.1/042) за финансовую поддержку.

REFERENCES:
[1] Rosenberg R.M. Nonlinear vibrations of systems with many degrees of freedom // Advances of Applied Mechanics, Academic Press, New York,1966. V.9. P.156--243.
[2] Маневич Л.И., Михлин Ю.В., Пилипчук В.Н. Метод нормальных колебаний для существенно нелинейных систем. М: Наука, 1989.
[3] Vakakis A., Manevitch L., Mikhlin Yu., Pilipchuk V., Zevin A. Normal Modes and Localization in Nonlinear Systems. NY: Wiley, 1996.
[4] Mikhlin Yu. Matching of local expansions in the theory of nonlinear vibrations // Journal of Sound and Vibration, 1995. V. 182 (4). P. 577-588.
[5] Mikhlin Yu., Morgunov B. Normal vibrations in near-conservative nonlinear systems // Nonlinear Dynamics, 2001. V. 25. P. 33-48.
[6] Mikhlin Yu., Zhupiev L. An application of the Ince algebraization to the stability of non-linear normal vibration modes // Int. J. of Nonl. Mechanics, 1996. V. 32 (1). P. 493-509.
[7] Avramov K., Mikhlin Yu., Kurilov E. Asymptotical analysis of nonlinear dynamics of symply supported cylindrical shells // Nonlinear Dynamics, 2007. V. 47. P. 331-352.
[8] Avramov K., Mikhlin Yu. Snap-through truss as a vibration absorber // Journal of Vibration and Control, 2004. V. 10. P.291-308.
[9] Mikhlin Yu., Reshetnikova S. Dynamical interaction of an elastic system and essentially nonlinear absorber // J. of Sound and Vibration, 2005. V. 283. P.91-120.