Методы построения численных моделей математической физики на базе вариационных принципов

Представлена новая методика построения и реализации численных моделей математической физики. Предлагаемый подход основан на вариационных принципах для организации методов прямого и обратного моделирования с использованием прямых и сопряженных задач. Модели процессов описываются с помощью функционалов - интегральных тождеств. При формулировке этих принципов применяются аддитивное представление операторов модели и декомпозиция функционалов. Это обеспечивает возможность комплексирования и декомпозиции моделей различных масштабов на уровне численных алгоритмов их реализации.

Вариационный принцип определяет глобальную структуру трех основных элементов технологий моделирования: прямых и сопряженных задач и соотношений теории чувствительности для моделей и функционалов.

Оригинальным элементом является гибридная дискретно-аналитическая система построения аппроксимаций [1]. Численные схемы строятся с помощью аналитических решений локальных сопряженных задач для операторов моделей процессов в пределах конечных объемов в рамках интегрального тождества. В результате получаются оптимальные схемы, обеспечивающие бистационарность аппроксимаций функционалов к вариациям функций состояния и сопряженных функций. Их операторы обладают такими необходимыми свойствами, как монотонность, транспортивность, дифференцируемость относительно компонент функции состояния и параметров. Граничные условия всех типов для сложных областей учитываются точно.

Схемы и алгоритмы, построенные с помощью гибридной структуры, имеют высокую вычислительную эффективность. Они согласованы в прямом и сопряженном вариантах. Точность описания процессов с использованием аналитических решений локальных сопряженных задач получается выше, чем точность традиционных дискретных аппроксимаций. Преимуществом является также отсутствие искусственных монотонизаторов. Выполнены теоретические исследования свойств нового класса схем, доказаны теоремы о монотонности, устойчивости, разрешимости и т.д. Изложение основных положений ведется на примере моделей гидротермодинамики, переноса и трансформации примесей в атмосфере и водных объектах. Работа поддержана Программами фундаментальных исследований №16 Президиума РАН и №3 Отделения математических наук РАН, РФФИ ( № 07-05-00673).

[1] V. Penenko, E. Tsvetova. Discrete-analytical methods for the implementation of variational principles in environmental applications// Journal of Сomputational and Applied Mathematics, 226 (2009) 319-330.