Функции с минимальным числом критических точек на двух- и трехмерных многообразиях с краем

На каждом компактном многообразии с краем существует функция без критических точек. Однако ограничение этой функции на край будет иметь критические точки (точки экстремума и другие). Возникает вопрос: каково их минимальное число среди всех таких функций. Критические точки функции будем называть внутренними, а критические точки ограничения функции на край – граничными. Теорема 1. На ориентированном двухмерном многообразии рода g c k компонентами края (k≥1) функция без внутренних критических точек и минимальным числом граничных точек будет иметь 4g+2k точек, половина из которых есть точками минимума, а вторая половина – точками максимума ограничения функции на край. На неориентированном двумерном многообразии минимальное число граничных критических точек функции без внутренних критических точек равно 2g+2k. Как в ориентированном, так и в неориентированном случае, эти функции могут быть представлены как функции высоты при вложении двумерного многообразия в трехмерное евклидовое пространство. Теорема 2. На связном трехмерном многообразии со связным краем существует функция без внутренних критических точек и такая, что все граничные критические, за исключением двух, являются точками локального минимума или максимума ограничения функции на край. Если у такой функции по одному локальному минимуму и максимуму, то многообразие имеет гомотопический тип букета окружностей.