Аналітичні розв’язки тривимірних задач теорії пружності й термопружності для неоднорідних тіл

Дослідження термомеханічної поведінки неоднорідних структур, що функціонують в умовах агресивних середовищ під дією інтенсивних теплових, силових та електромеханічних навантажень, привертають дедалі більше уваги спеціалістів як академічної сфери, так і інженерів, що займаються запровадженням новаторських ідей у виробництві. Зокрема це пов’язано з розвитком концепції функціонально-градієнтних матеріалів та новітніх технологій щодо формування неоднорідних структур із наперед заданим розподілом теплофізичних та механічних характеристик, що інтенсивно запроваджуються та досліджуються у науковий та виробничих центрах у цілому світі. Розвиток моделей та методів дослідження термомеханічної поведінки неоднорідних структур пов’язаний зі значними труднощами фізичної і математичної природи. У математичному плані ці труднощі насамперед викликані потребою розв'язання нелінійних рівнянь чи диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, які не завжди вдається розв'язати аналітично, навіть коли характеристики матеріалу залежать лише від однієї з просторових координат. Відомі на сьогодні методи подолання цієї проблеми полягають у:
i) застосуванні на-ближених чи варіаційних підходів, що дозволяє спростити формулювання задач;
ii) використанні лінеаризаційних алгоритмів для спрощення процесу розв’язування;
iii) переході від реального об’єкту дослідження до дещо простішого (як, наприклад, заміна неперервно-неоднорідного тіла багатошаровим композитом);
iv) розвитку методів, ефективних для деяких конкретних і доволі обмежених у своїх варіаціях способів задання розподілів неоднорідності;
v) застосуванні числових методів.
Проте, вказані підходи, вочевидь, не можуть задовольнити сучасні потреби у даній галузі, основною з яких є визначення оптимального розподілу характеристик матеріалів для забезпечення тих чи інших функціональних показників конструкції в цілому, а також оптимальне керування термонапруженим станом. З цієї точки зору визначення напружено-деформованого стану не є кінцевою метою досліджень, а лише проміжним ета пом, який повинен надати для подальшого застосування зручний для аналізу точний аналітичний розв’язок прямої задачі, який точно задовольняє вихідним умовам, основоположним принципам та моделям механіки деформівного твердого тіла та має форму явної функціональної залежності від факторів навантаження та характеристик матеріалу.

У даній роботі розвинуто ефективний метод розв’язування тривимірних задач теорії пружності й термопружності для необмежених неоднорідних тіл, що ґрунтується на зведені вихідних рівнянь цих задач до інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду. Для розв’язування отриманих інтегральних рівнянь застосовано метод резольвенти, у результаті чого розв’язки вихідних задач вдається побудувати у явному аналітичному вигляді.