Сверхкритические графические квадратичные формы и минимальные турниры с незнакоопределенной формой Титса

В классической монографии К. Рингеля [1] было введено понятие графической целой квадратичной формы, являющееся обобщением понятия формы Титса частично упорядоченного множества, и описаны все критические (т. е. минимальные не слабо положительные) графические целые квадратичные формы в виде явного списка соответствующих им «прерывистых» графов (т.е. неориентированных графов без петель и кратных ребер, все ребра которых - прерывистые). В настоящем докладе данный результат обобщается автором на случай сверхкритических (т.е. минимальных не слабо неотрицательных) графических целых квадратичных форм.

С другой стороны, в работе автора [2] было введено понятие квадратичной формы Титса турнира (т.е антисимметричного рефлексивного отношения на конечном множестве), естественно обобщающего понятие квадратичной формы Титса частично упорядоченного множества, а также было введено понятие (0,1) -эквивалентности (прерывистых) графов (отвечающее некоторому специальному целочисленному линейному преобразованию соответствующих графических целых квадратичных форм). В этой же работе доказано, что минимальные турниры (в частности, частично упорядоченные множества), форма Титса которых не является положительно /соответственно, неотрицательно/ определенной (названные автором слабо критическими /соответственно, слабо сверхкритическими/турнирами) – это в точности те турниры, подлежащие (прерывистые) графы которых являются (0,1) -эквивалентными (прерывистым) графам критических /соответственно сверхкритических/графических целых квадратичных форм (или, что равносильно, квадратичные формы Титса таких турниров должны быть (0,1) -эквивалентными некоторым критическим /соответственно, сверхкритическим/ графическим целым квадратичным формам).

Полученные результаты позволяют дать явное описание всех слабо критических и, соответственно, слабо сверхкритических турниров (в частности, соответствующих частично упорядоченных множеств).

Список цитированной литературы:
[1] C.M. Ringel, Tame Algebras and Integral Quadratic Forms. Lecture Notes in Mathematics, 1099, Springer, Berlin, 1984.
[2] M. В. Зельдіч, «Про маятникову еквівалентність біграфів і мінімальні незнаковизначені цілі квадратичні форми» – «Вісник Київського Університету» №4, серія: Фізико-Математичні науки, 2007 р., ст. 33-42.