Теорія чисел,     Весняний семестр 2023

Марія Власенко, професорка Математичного інституту Польської академії наук


Метою курсу є впровадження основних концепцій теорії чисел, як алегебраїчних так і аналітичних. Ми почнемо з питань факторизації, обговоримо неоднозначність розкладу на множники цілих чисел у числових полях та виправлення цієї проблеми при переході від чисел до ідеалів. Розглянемо арифметику лишків, доведемо закон квадратичної взаємності, вивчимо скінченні поля та p-адичні числа. Друга частина курсу присвячена аналітичним методам. Ми поговоримо про розподіл простих чисел, розглянемо дзета-функцію та деякі інші ряди Діріхле, доведемо теорему про прості числа у арифметичних прогресіях.
Курс супроводжуватимуть семінарські заняття, на яких студенти розв’язуватимуть задачі та вчитимуться користуватися комп’ютерною алгеброю для дослідження теоретикочислових питань.

Час: вівторок, 14:00-16:15 за українським часом (UTC+2)
Місце: Zoom + Google Jamboard
Консультації: 31 травня та 7 червня о 14:00 за українським часом (за попередньою домовленістю)
Письмовий екзамен: віторок, 13 червня, 9:00-24:00 (UTC+2). Студенти отримають задачі та інструкції мейлом.

Дорогі студенти, запрошую вас взяти участь у школі-конференції "Numbers in the Universe: Recent Advances in Number Theory and its Applications", яка відбудеться 7-11 серпня у Київській Школі Економіки та Центрі Банаха у Варшаві.


    Подільність, факторизація та алгебраїчні цілі числа

  1. Подільність та алгоритм Евкліда (7 лютого)
    2. дошка | завдання 1 | експеримент
    Розв'язки задач: [1] Остапа Нєженського, [4] Миколи Лисинського, [4] Юрія Яроша, [5] Станіслава Зубко
  2. Прості елементи та однозначність розкладу на множники у деяких кільцях
  3. Алгебраїчні числа (10 лютого)
    4. відео | дошка | завдання 2
    Розв'язки задач: [1] та [2] Богдана Мажара,[4] та [6] Станіслава Зубко, [5] Юрія Яроша
  4. Цілі елементи та розклад на множники в квадратичних полях (21 лютого)
    5. відео | записки | завдання 3
    Розв'язки задач: [1] Остапа Нєженського,  [4] та [5] Юрія Яроша
  5. Числові поля, існування примітивного елемента та короткий огляд однозначності факторизації ідеалів (28 лютого)
    6. відео | записки | завдання 4 | експеримент
    Розв'язки задач: [1] Остапа Нєженського,  [2] Юрія Яроша

    Арифметика лишків та скінченні поля

  6. Елементарні властивості лишків: мала теорема Ферма та її узагальнення, китайська теорема про лишки (7 березня)
    7. відео | дошка | завдання 5
    Розв'язки задач: [1],[2] Юрія Яроша, [4] Остапа Нєженського, [6] Юрія Яроша.
  7. Лишки за модулем степенів простих чисел та лема Гензеля (14 березня)
  8. Первісні корені за модулем m (14 березня)
    9. відео | дошка | завдання 6
    Розв'язки задач: [2] Остапа Нєженського,  [3],[4],[5] Юрія Яроша
  9. Квадратичний закон взаємності (24 березня)
    10. відео | дошка | завдання 7
    Розв'язки задач: [1] та [3] Станіслава Зубко,  [2] Остапа Нєженського,  [4] Олексія Ігнатенка
  10. Формула обернення Мебіуса
  11. Cкінченні поля (31 березня)
    12. відео | дошка | завдання 8
    Розв'язки задач: [1-3] Олексія Ігнатенка,  [4],   [5] Остапа Нєженського
  12. Розв’язки алгебраїчних рівнянь над скінченними полями (4 квітня)
    13. відео | дошка | завдання 9
    Розв'язки задач: [1],[2], [3] Юрія Яроша, [4], [6] Остапа Нєженського

    p-адичні числа

  13. Кільце p-адичних цілих чисел (11 квітня)
    14. відео | дошка | завдання 10
    Розв'язки задач: [1] Остапа Нєженського,  [5] Юрія Яроша
  14. p-адична метрика та теорема Островського (18 квітня)
    15. відео | дошка | завдання 11
    Розв'язки задач: [1-3] Олексія Ігнатенка, [3] Остапа Нєженського,  [4]Юрія Яроша та [4] Станіслава Зубко
  15. p-адичні неперервні функції (25 квітня)
    16. відео | дошка | завдання 12
    Розв'язки задач: [1] Остапа Нєженського,  [3] Юрія Яроша
  16. Числа Бернуллі (2 травня)
  17. p-адичний інтеграл (2 травня)
    18. відео | дошка | завдання 13
    Розв'язки задач: [1-2] Остапа Нєженського

    Дзета-функція, ряди Діріхле та розподіл простих чисел

  18. Дзета-функція Рімана, її аналітичне продовження та значення у від'ємних цілих точках (9 травня)
    19. відео | дошка | завдання 14
    Розв'язки задач: [1] Остапа Нєженського,  [2] Юрія Яроша
  19. Функціональне рівняння, нулі дзета-функції та гіпотеза Рімана (16 травня)
  20. Огляд зв'язку між розподілом простих чисел та нулями дзета-функції (16 травня)
    21. відео | дошка | завдання 15
    Розв'язки задач: [4] Остапа Нєженського
  21. Ряди Діріхле (23 травня)
  22. Теорема Діріхле про прості числа у арифметичних прогресіях (23 травня)
    23. відео | дошка

Комп'ютерні обчислення

PARI/GP (пакет з корисними теоретикочисловими функціями)
список команд GP

Література

[IR] K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics 84
[S] J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, Graduate Texts in Mathematics 7
[K] N. Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics 58
[NZM] I. Niven, H. S. Zuckerman and H. L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers
[N] J. Neukirch, Algebraic Number Theory