Зорій Наталія Василівна
Напрямки досліджень
Наукові розробки Н.В. Зорій у 2016–2020 рр. були в основному сконцентровані на наступних напрямках.
Класична задача Гаусса мінімізації енергій Ньютона (чи, більш загально, α-Рісса) при наявності зовнішніх полів вивчалася в якісно новій постановці — для конденсатора, протилежно заряджені пластини якого перетинаються по множині Ω як завгодно великої ємності. Прості приклади показують, що така задача є, взагалі кажучи, нерозв’язною (в термінології електростатики — між пластинами відбувається коротке замикання). Однак було доведено, що розв’язок вже існує, якщо допустимі розподіли мір задовольняють належні верхні крайові обмеження. У відповідно модифікованій задачі Гаусса отримано критерії розв’язності, дано повний опис екстремалей, вивчено питання стійкості при варіації початкових даних. Результати узагальнено на широкий клас теоретико-потенціальних ядер в довільному локально компактному просторі та векторні міри Радона скінченної чи нескінченної розмірності.
З іншого боку, феномен нерозв’язності класичної задачі Гаусса спонукав визначення нової альтернативної концепції α-ріссової енергії, що ґрунтується на законі Рісса декомпозиції ядер та перегукується з визначенням Дені, даним через перетворення Фур’є. Будучи менш обтяжливою, ніж стандартна концепція, нова концепція розширює клас мір зі скінченною енергією та дозволяє ефективно розв’язувати такі задачі на конденсаторах з непорожнім перетином Ω, що в рамках стандартного визначення були принципово нерозв’язними, — зокрема, класичну задачу Гаусса та відому задачу Beurling–Kishi про існування міри конденсатора.
Побудова цих теорій ґрунтується на теоремі про повноту конуса додатних мір зі скінченною α гріновою енергією, відомій раніше лише для плоскої області при α=2 (R. Edwards), та теорії α-ріссового вимітання, що узагальнює на випадок α≠2 класичну теорію Картана.
Класична задача Гаусса мінімізації енергій Ньютона (чи, більш загально, α-Рісса) при наявності зовнішніх полів вивчалася в якісно новій постановці — для конденсатора, протилежно заряджені пластини якого перетинаються по множині Ω як завгодно великої ємності. Прості приклади показують, що така задача є, взагалі кажучи, нерозв’язною (в термінології електростатики — між пластинами відбувається коротке замикання). Однак було доведено, що розв’язок вже існує, якщо допустимі розподіли мір задовольняють належні верхні крайові обмеження. У відповідно модифікованій задачі Гаусса отримано критерії розв’язності, дано повний опис екстремалей, вивчено питання стійкості при варіації початкових даних. Результати узагальнено на широкий клас теоретико-потенціальних ядер в довільному локально компактному просторі та векторні міри Радона скінченної чи нескінченної розмірності.
З іншого боку, феномен нерозв’язності класичної задачі Гаусса спонукав визначення нової альтернативної концепції α-ріссової енергії, що ґрунтується на законі Рісса декомпозиції ядер та перегукується з визначенням Дені, даним через перетворення Фур’є. Будучи менш обтяжливою, ніж стандартна концепція, нова концепція розширює клас мір зі скінченною енергією та дозволяє ефективно розв’язувати такі задачі на конденсаторах з непорожнім перетином Ω, що в рамках стандартного визначення були принципово нерозв’язними, — зокрема, класичну задачу Гаусса та відому задачу Beurling–Kishi про існування міри конденсатора.
Побудова цих теорій ґрунтується на теоремі про повноту конуса додатних мір зі скінченною α гріновою енергією, відомій раніше лише для плоскої області при α=2 (R. Edwards), та теорії α-ріссового вимітання, що узагальнює на випадок α≠2 класичну теорію Картана.
Досвід роботи
Наукові розробки Н.В. Зорій у 2020–2024 рр. були в основному сконцентровані на наведених нижче напрямках 1)–9). Ці та інші результати Зорій опубліковано в 14 статтях в зарубіжних журналах, що входять до міжнародних баз даних, з них 12 — журнали квартиля Q1. Дослідження проводились нею як самостійно, так і в співавторстві з відомими вченими Данії та США.
1) Досліджено задачу мінімізації енергії із зовнішніми полями, відому як варіаційна задача Гауса, для ядер α-Ріса довільного порядку 0<α
2) У теорії потенціалів α-Ріса порядку α≦2 дано застосування нещодавно введеної сумісно з B. Fuglede альтернативної концепції енергії міри Радона: показано, що така концепція істотно розширює клас знакозмінних мір зі скінченною енергією і, як наслідок, дозволяє розв’язати низку задач теорії узагальнених конденсаторів (з непорожнім Ω), які в рамках стандартного визначення енергії були принципово нерозв’язними — зокрема, варіаційну задачу Гауса в класичній постановці (без верхніх крайових обмежень).
3) Досліджено варіаційну задачу Гауса в постановці, де функціонал Гауса визначається в термінах альтернативної концепції α-рісової енергії, α≦2. Для узагальненого конденсатора, протилежно заряджені пластини якого перетинаються по множині Ω як завгодно великої α-рісової ємності, отримано необхідні та достатні умови існування екстремалей, дано їхні повні описи, досліджена неперервність в різних топологіях при варіації початкових даних. Дослідження ґрунтуються на доведеній теоремі про повноту належних топологічних підпросторів додатних мір зі скінченною α-гріновою енергією.
4) Побудовано теорію внутрішнього α-рісового вимітання, α≦2, довільної додатної міри Радона на множину довільної топологічної структури, що узагальнює та розвиває класичну теорію Картана ньютонівського вимітання (α=2). Встановлено тісний взаємозв’язок між концепціями вимітання та внутрішньої рівноважної міри, де остання трактується в певному природному узагальненому сенсі, та дано його різноманітні застосування. Зокрема, доведено аналоги класичних теорем Вінера та Еванса про α-іррегулярні точки, вивчено дефект повної маси міри при її вимітанні, тощо. Як узагальнення цієї теорії, запропоновано концепцію псевдо-вимітання, що розширює концепцію вимітання зі збереженням її основних властивостей на знакозмінні міри Радона та ядра α-Ріса довільного порядку α.
5) Досліджується внутрішня α-гармонічна міра довільної підмножини евклідового простору, що є потужним засобом вивчення задачі Діріхле, асоційованої з фракційним лапласіаном. Отримано формулу для знаходження її повної маси, дано повний опис її носія, встановлено необхідні та достатні умови, при яких внутрішня α-гармонічна міра має скінченну енергію (або, більш загально, є абсолютно неперервною функцією відносно α-рісової ємності). Результати узагальнено на довільну позитивну міру та її α-рісове вимітання з допомогою доведеної формули інтегрального зображення. Отримано низку умов, необхідних і достатніх для існування узагальненої внутрішньої α-рісової рівноважної міри.
6) Побудовано теорію вимітання мір Радона зі скінченною енергією, що узагальнює теорію Картана ньютонівського вимітання на вельми загальні ядра на локально компактному просторі. Доведено ряд альтернативних еквівалентних означень, отримано формулу для знаходження повної маси, встановлено теореми збіжності для частково впорядкованих сукупностей множин. Запропоновано та вивчено концепцію псевдо-вимітання, що розширює концепцію вимітання зі збереженням її основних властивостей на знакозмінні міри Радона та більш широкий клас ядер.
7) У теорії потенціалів відносно вельми загальних ядер на локально компактному просторі знайдено ряд характеристичних властивостей внутрішніх та зовнішніх ємностей вельми загальних множин та відповідних ємнісних розподілів, кожна з яких може слугувати альтернативним означенням та мати різну сферу застосувань. Дослідження ґрунтується на встановленому глибинному зв’язку між теорією вимітання та теорією рівноваги. Як супутній результат, дано повне обґрунтування теорії B. Fuglede вимірності по ємності.
8) При вельми загальних початкових припущеннях знайдено необхідні та достатні умови розв’язуваності задачі мінімізації енергій при наявності зовнішніх полів. Започаткована ще Гаусом, ця задача залишається актуальною в силу її численних ефективних застосувань. Отримані результати істотно покращують ряд раніше відомих, що стало можливим завдяки принципово новому підходу, який ґрунтується на одночасному використанні сильної та широкої топологій над просторами мір Радона, а також на побудованій Зорій теорії вимітання та псевдо-вимітання.
9) Для потенціалів α-Ріса та α-Гріна, де α≦2, отримано суттєве (і досить несподіване) посилення класичного принципу Дені позитивності мас. Показано, що він все ще справджується, якщо належна нерівність для потенціалів α-Ріса виконується лише на множині, яка не є α-тонкою на нескінченності. У випадку потенціалів α-Гріна аналогічна умова формулюється в термінах запровадженої Зорій концепції α-гармонічної міри борелівськихх підмножин одноточкової компактифікації евклідового простору.
1) Досліджено задачу мінімізації енергії із зовнішніми полями, відому як варіаційна задача Гауса, для ядер α-Ріса довільного порядку 0<α
2) У теорії потенціалів α-Ріса порядку α≦2 дано застосування нещодавно введеної сумісно з B. Fuglede альтернативної концепції енергії міри Радона: показано, що така концепція істотно розширює клас знакозмінних мір зі скінченною енергією і, як наслідок, дозволяє розв’язати низку задач теорії узагальнених конденсаторів (з непорожнім Ω), які в рамках стандартного визначення енергії були принципово нерозв’язними — зокрема, варіаційну задачу Гауса в класичній постановці (без верхніх крайових обмежень).
3) Досліджено варіаційну задачу Гауса в постановці, де функціонал Гауса визначається в термінах альтернативної концепції α-рісової енергії, α≦2. Для узагальненого конденсатора, протилежно заряджені пластини якого перетинаються по множині Ω як завгодно великої α-рісової ємності, отримано необхідні та достатні умови існування екстремалей, дано їхні повні описи, досліджена неперервність в різних топологіях при варіації початкових даних. Дослідження ґрунтуються на доведеній теоремі про повноту належних топологічних підпросторів додатних мір зі скінченною α-гріновою енергією.
4) Побудовано теорію внутрішнього α-рісового вимітання, α≦2, довільної додатної міри Радона на множину довільної топологічної структури, що узагальнює та розвиває класичну теорію Картана ньютонівського вимітання (α=2). Встановлено тісний взаємозв’язок між концепціями вимітання та внутрішньої рівноважної міри, де остання трактується в певному природному узагальненому сенсі, та дано його різноманітні застосування. Зокрема, доведено аналоги класичних теорем Вінера та Еванса про α-іррегулярні точки, вивчено дефект повної маси міри при її вимітанні, тощо. Як узагальнення цієї теорії, запропоновано концепцію псевдо-вимітання, що розширює концепцію вимітання зі збереженням її основних властивостей на знакозмінні міри Радона та ядра α-Ріса довільного порядку α.
5) Досліджується внутрішня α-гармонічна міра довільної підмножини евклідового простору, що є потужним засобом вивчення задачі Діріхле, асоційованої з фракційним лапласіаном. Отримано формулу для знаходження її повної маси, дано повний опис її носія, встановлено необхідні та достатні умови, при яких внутрішня α-гармонічна міра має скінченну енергію (або, більш загально, є абсолютно неперервною функцією відносно α-рісової ємності). Результати узагальнено на довільну позитивну міру та її α-рісове вимітання з допомогою доведеної формули інтегрального зображення. Отримано низку умов, необхідних і достатніх для існування узагальненої внутрішньої α-рісової рівноважної міри.
6) Побудовано теорію вимітання мір Радона зі скінченною енергією, що узагальнює теорію Картана ньютонівського вимітання на вельми загальні ядра на локально компактному просторі. Доведено ряд альтернативних еквівалентних означень, отримано формулу для знаходження повної маси, встановлено теореми збіжності для частково впорядкованих сукупностей множин. Запропоновано та вивчено концепцію псевдо-вимітання, що розширює концепцію вимітання зі збереженням її основних властивостей на знакозмінні міри Радона та більш широкий клас ядер.
7) У теорії потенціалів відносно вельми загальних ядер на локально компактному просторі знайдено ряд характеристичних властивостей внутрішніх та зовнішніх ємностей вельми загальних множин та відповідних ємнісних розподілів, кожна з яких може слугувати альтернативним означенням та мати різну сферу застосувань. Дослідження ґрунтується на встановленому глибинному зв’язку між теорією вимітання та теорією рівноваги. Як супутній результат, дано повне обґрунтування теорії B. Fuglede вимірності по ємності.
8) При вельми загальних початкових припущеннях знайдено необхідні та достатні умови розв’язуваності задачі мінімізації енергій при наявності зовнішніх полів. Започаткована ще Гаусом, ця задача залишається актуальною в силу її численних ефективних застосувань. Отримані результати істотно покращують ряд раніше відомих, що стало можливим завдяки принципово новому підходу, який ґрунтується на одночасному використанні сильної та широкої топологій над просторами мір Радона, а також на побудованій Зорій теорії вимітання та псевдо-вимітання.
9) Для потенціалів α-Ріса та α-Гріна, де α≦2, отримано суттєве (і досить несподіване) посилення класичного принципу Дені позитивності мас. Показано, що він все ще справджується, якщо належна нерівність для потенціалів α-Ріса виконується лише на множині, яка не є α-тонкою на нескінченності. У випадку потенціалів α-Гріна аналогічна умова формулюється в термінах запровадженої Зорій концепції α-гармонічної міри борелівськихх підмножин одноточкової компактифікації евклідового простору.