В наукових працях академіка І.О. Луковського створено нелінійні математичні
моделі динаміки твердих і деформівних тіл з порожнинами,
частково заповненими рідиною; розвинено варіаційні принципи
в задачах механіки суцільного середовища; розроблено методи
розв'язування лінійних та нелінійних крайових задач гідродинаміки,
що належать до так званих задач з вільними границями, та спеціальних
класів задач на власні значення з параметром в граничних умовах.
З ім'ям І.О. пов'язане формування в нашій країні
нового напрямку математичної фізики - нелінійної теорії взаємодії твердих і
пружних тіл з рідиною, яка знаходиться в їх порожнинах.
В 90-і роки минулого століття він разом зі своїми учнями започаткував перспективний
науковий напрям - нелінійну динаміку обмеженого об'єму рідини з вільною поверхнею
в умовах слабких гравітаційних, вібраційних та акустичних полів. Тут сформульовано
нові типи крайових задач з вільними границями та пов'язані з ними варіаційні принципи,
побудовано наближені варіаційні алгоритми їх розв'язування. Вперше теоретично
обгрунтовано деякі нелінійні фізичні явища, пов'язані зі стійкістю вільної
поверхні рідини, з втратою суцільності рідини в невагомості, з транспортуванням
рідини в невагомості за допомогою сил акустичної природи. Зокрема, теоретично
встановлено і обгрунтовано нелінійні ефекти перекиду та провалу обмеженого об'єму
рідини, які були зафіксовані раніше в експериментальних роботах інших авторів.
Значним є також творчий внесок І.О. Луковського в
розвиток вітчизняного ракетобудування. Багаторічний зв'язок з
конструкторськими бюро, очолюваними академіками М.К. Янгелем, В.Г. Сергеєвим
та іншими видатними конструкторами, і цілеспрямований характер досліджень академіка
І.О. Луковського в галузі математичної фізики дозволили побудувати для вивчення
проблем динаміки ракет ефективні скінченновимірні математичні моделі у вигляді
систем звичайних диференціальних рівнянь, що враховують
взаємодію корпусу ракети з рідинним паливом в баках складної геометричної форми.
Створений на цій основі в Інституті математики НАН України атлас гідродинамічних
коефіцієнтів рівнянь збуреного руху механічних систем (ракет, танкерів, транспортних
літаків тощо), які містять в собі значні маси рідини, знайшов широке застосування в
інженерній практиці провідних проектно-конструкторських організацій.
Вченим було знайдено принципове вирішення однієї з найважливіших
для ракетно-космічної техніки проблеми - забезпечення стійкості руху
і керованості ракети з врахуванням пружних поперечних коливань корпусу
і рідинного наповнення її баків.
Серед учнів І.О. Луковського 21 кандидатів і 6 докторів наук.
Ним створена вітчизняна наукова
школа з динаміки твердих і деформівних тіл, які мають порожнини,
частково заповнені рідиною.