ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. І. САМОЙЛЕНКО

У посібнику систематично викладено теоретичні основи операційного числення та його застосування. Спочатку розглянуто основні поняття комплексного аналізу, необхідні для побудови операційного числення, зокрема теорію лишків, формули обчислення лишків і теорему Коші про суму лишків. Далі введено інтегральне перетворення Лапласа та досліджено його основні властивості: лінійність, подібність, зображення похідних та інтеграла, зміщення, зсув аргументу, інтегрування й диференціювання зображення, диференціювання за параметром, а також зображення згортки. Окремий розділ присвячено обчисленню зображень Лапласа спеціальних функцій, що застосовуються в математичному аналізі, теорії диференціальних рівнянь, теорії ймовірностей, математичній фізиці, оптиці та проєктуванні доріг. Зокрема, обчислено зображення степеневої функції $t^\alpha$, де $\alpha \in (-1; +\infty)$, характеристичних функцій випадкових величин із рівномірним, експоненціальним, гамма- та ерлангівським розподілами, а також розподілом $\chi^2$. Отримано також зображення Лапласа інтегрального синуса, інтегрального гіперболічного синуса, інтегралів Френеля та інтеграла ймовірності. Розглянуто задачу відновлення функції-оригіналу за її зображенням. Доведено теорему Мелліна, викладено методику використання інтеграла Мелліна для відновлення функції-оригіналу та доведено першу і другу теореми про розклад. Показано застосування перетворення Лапласа до розв'язування початкових задач для лінійних звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, лінійних інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь, крайових задач для рівняння коливань струни та рівняння поширення теплоти у скінченному стрижні, а також задач аналізу електричних кіл із послідовним і паралельним з’єднанням елементів та кіл з індуктивним зв’язком. Теоретичні положення проілюстровано прикладами. До кожного розділу запропоновано запитання і вправи для самоконтролю та самостійної роботи. Посібник призначено для студентів математичних, фізичних і технічних спеціальностей закладів вищої освіти, викладачів, а також усіх, хто самостійно опановує операційне числення. Видання здійснено за кошти Цільової комплексної програми «Трансформація науково-видавничого комплексу НАН України в умовах війни і повоєнних змін у контексті впровадження європейських ініціатив відкритої науки» (2026 – 2020)

Київ, Академперіодика, 2026

ISBN 978-966-360-576-0

УДК 517 (075)

Файл: https://imath.kiev.ua/books/2/book.pdf

DOI: https://doi.org/10.15407/akademperiodyka.576.157

Редактор О. А. МИКИТЕНКО

Рецензенти:

д-р фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник В. М. БОЙКО

д-р фіз.-мат. наук, проф. П. Ф. САМУСЕНКО