Групи Лі

Курс лекцій для магістрів Київського Академічного Університету та аспірантів Інституту математики НАН України, весна, 2026

Він проходитиме по четвергах, 14:00 - 16:15 (за київським часом). Перша лекція відбудеться 5 лютого 2026 р.

Посилання на підключення до лекцій

Група в WhatsUp

План курсу

1. Дія групи на множині. Праві та ліві дії а також зв’язок між ними. Стабілізатори та орбіти точок. Лема Бернсайда.
2. Топологічні групи та їх прості властивості. Аксіоми віддільності в топологічних групах. Підгрупи та фактор-групи топологічних груп. Теорема про неперервні гомоморфізми топологічних груп. Напівпрямі добутки топологічних груп. Комутативність фундаментальних групи для топологічних груп.
3. Міра Хаара.
4. Многовиди. Гладкі структури. Дотичне розшарування гладкого многовида. Векторі поля та потоки на многовидах.
5. Групи Лі. Гладкі дії груп. Матричні групи GL(n), O(n), SL(n), U(n), Sp(n).
6. Кватерніони. Їх властивості та зв’язок з матричними групами.
7. Топологічний тип групи SO(3).
8. Експоненційне відображення матричних груп.
9. Алгебра Лі групи Лі як дотичний простір до одиниці цієї групи.
10. Приєднане зображення групи Лі на дотичному просторі до одиниці.
11. Тривіальність дотичного розшарування групи Лі. Ліво- та право- інваріантні векторні поля на групі Лі.
12. Алгебри Лі матричних груп.
13. Теорема про однозначну визначеність гомоморфізма зв’язної групи Лі дотичним відображенням в одиниці.
14. Замкнені підгрупи груп Лі.
15. Класифікація зв’язних комутативних груп Лі.
16. Максимальні тори. Зображення торів. Приєднане зображення максимальних торів.
17. Діаграми Штіфеля та корені компактної групи Лі.

Список літератури

1. J. Frank Adams, Lectures on Lie groups, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, (1969), 182
2. П. І. Голод, А. У. Клімик, Математичні основи теорії симетрії, Київ, Наукова думка, (1992), 368
3. Morris W. Hirsch, Differential topology, Springer-Verlag, New York,, 33 (1994)
4. О. О. Пришляк, Топологія многовидів, Навч. посібник, КНУ ім. Т. Шевченка, (2013)
5. Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, (2015) | free variant

Домашні завдання

pdf

Список лекцій

Детальний опис лекцій